수란 무엇인가? | 집합수와 순서수

수란 무엇인가? 라는 질문만큼 광범위한 주제는 없을 것 같다.

 

수학의 논란 중에는 수억년이 지나도 끝나지 않을 것 같은 이슈들이 많다.

 

한편으로 수학은 인간의 계층 중에서도 상위 0.0000001%의 상아탑과 천재에게 속해있다.

 

21세기인 지금도 수학을 대중에게 보급하려는 시도는 신성한 세계를 감히 침범하는 것으로 보일 수도 있다.

그렇지 않고서는 수학이 그렇게 노잼일수가 없다

 

피타고라스 학파의 집단 살인 사건은 역사속에서 일어났던 일이다.

 

무리수를 인정하지 못해서 젊은 히파수스를 살해한 사건이다. 지금은 중학생이 배우는게 무리수인데...

 

https://m.science.ytn.co.kr/view.php?s_mcd=0082&key=201804301657461297

지중해 살인 사건의 전말…'피타고라스 학파'

딱히 과거의 사람들이 무지해서 일어났다고 생각하지 않는다. 21세기를 살아가는 우리도 불과 100년 후에 미래인들에게 미개하다는 취급을 당할 수 있다. 역사란 그런 것이다. 인간의 시간은 미래로만 흐르기 때문에 불완전한 추측을 할 뿐이다.

 

다행히 요즘은 시대가 바뀌었다. 유튜브 시대가 되면서 한번더 전환이 되고 있다고 생각한다. 300만 구독자를 보유한 3Blue1Brown 같은 유튜브 채널은 수학에 있어서도 확실히 새로운 시대가 왔음을 예고하고 있다.

 

https://www.youtube.com/channel/UCYO_jab_esuFRV4b17AJtAw

3Blue1Brown

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*수의 존재

수(Number)는 양을 표현하기 위한 하나의 방법이다. 수는 우리가 만지거나 잡을 수 없는 것이다. 이것은 물리적인 것이 아니다. 허나 사과 3개, 연필 세개, 책 세권은 만질 수 있는 대상이다. 

 

직접 눈앞에 사과 세개를 놓고 하나를 먹고나서야 숫자 2를 얻을 수 있는것은 아니다. 그냥 머리속으로 생각해서 한개를 먹으면 두개가 남는다는 것을 알 수 있다. 인간의 뇌는 사과 세개와 한개를 먹는 것을 숫자로 표현하여 계산할 수 있기 때문이다.

 

사과 세개 두개는 파랗고 하나는 빨갛다

 

우리에겐 지극히 당연한 것이지만 수를 자각한다는 것은 인간밖에 할 수 없는 엄청난 능력이다. 사과를 먹기 전에 결과를 알 수 있을 뿐만 아니라 컴퓨터를 구동시키고 인터넷을 발달시켜 지구반대편 사람들에게 유튜브 동영상을 전달할 수 있다. 인간이 수를 자각하는 능력의 산물은 우리의 상상도 가끔씩 초월하고 있다.

 

그리고 인간은 이 세상 모든 것들을 수로 만들어서 생각할 수 있는 사기급 치트키를 가지고 태어났다. 시간,돈, 거리, 식량, 의약품, 집, 사람, 동물, 식물, 지구 , 우주, 원자 ... 모든 것을 수로 바꿀 수 있다.

                                                            등등등 고만해 미틴ㄴ아..

 

*집합수와 순서수, 기수와 서수

 

수를 알수 있다는 사실에 확신이 있는 사람은 많지 않을 것 이다.

 

이 세상에 수를 본 사람은 없다. 사과 다섯개를 본 사람은 있지만 다섯이라는 숫자를 본 사람은 없다. 숫자 5는 수의 양을 표현하는 기호지만 추상화된 다섯은 아닐 것이다. 인간의 탁월한 뇌가 숫자 오라는 개념을 보고 있는 것이 숫자이다. 그러니까 세상에 내려와 있지는 않다.

 

숫자 다섯을 본사람도 만진 사람도 없다. 사과 다섯개를 만지고 공책에 5개라고 적은 사람은 있지만, 그것은 수의 대상이자 기호표현일 뿐이다.

 

이것을 가지고 옛날부터 수학자와 철학자들이 수많은 논쟁을 해왔다고 한다. 아직 결론의 일치는 보지못했다고 한다. (일치가 나면 안될지도...)

 

사과 5개, 1번~5번 사과

사과의 숫자는 사과의 양을 나타낸다. 이것은 집합수이다. 몇개 모여있다는 것이다.

 

왼쪽에서 세번째 사과는 3번 사과이다. 이것은 순서수를 의미한다. 사과가 다섯개 있는 것과 왼쪽에서 5번째 사과는 의미가 전혀 다르다.

 

>> 수에는 집합수와 순서수가 있다.

 

사과가 아니라 딸기, 배를 대입해도 대상만 바뀌었을 뿐 수의 개념은 같다. 수의 개념을 적용할 수 있지만 아까 말한 것처럼 사과는 숫자가 아니다. 

 

한글에는 1,2,3,4,5,6 ... 이렇게 숫자를 세는 법과 한번,두번,세번,네번... 이렇게 세는 법이 있다. 전자는 기수이고 후자는 서수이다. 기수는 기초가 되는 수이고, 서수는 순서가 있는 수이다. 사과 세개와 세번째 사과는 매우 다른 의미를 가진다.

 

한글은 꼭 1,2,3,4,5 가 기수라는 법은 없다. 그것은 상황과 맥락에 달려있다. 

 

영어의 경우 엄격하다.

 

1 ... one

2 ... two

3 ... three

4 ... four

5 ... fifth

 

가 

 

1 - first

2 - second

3 - third

4 - fourth

5 - fifth

 

로 분명한 차이가 있다.

 

Lady first 라는 말도 한글로 번역하면 '여성 첫번째' 가 되는데 의미로 역하면 '여성 먼저' 인 것 처럼 따라가는 개념이 다르다.

 

한글은 기수와 서수의 구분이 단어에서 분리가 안되는 경우가 있으니까 맥락을 파악해야 수의 진짜 의미를 알 수 있다.

 

첫째, 둘째, 셋째 이건 분명한데 1,2,3 으로 쓰는 경우도 많다. 잘 분리해야한다.

 

시간의 경과도 서수이다. 1분이 60초이다. 초는 항상 어딘가 진행된 자리에 있다. 인간의 세계에 시간은 멈추지 않고 한방향으로만 흐른다. 그러므로 시간은 서수이다. 

 

* 수의 차이를 느끼기, 물건의 양의 크기와 사물의 순서

수의 개념을 이해하지 못하는 것은 차이를 못느껴서 그런 것일 수 있다.

 

수에 대하여 용어가 혼란스럽다.

 

- 기수, 양, 개수, 크기

 

- 서수, 순서, 위치, 시간의 경과

 

이런 것들이 계속 나온다. 어쩔 수 없다. 수로 세상의 모든 것들을 담으려 하다보니 생기는 현상이다. 수포자가 나오는 건 당연하다. 그때 그때 이게 뭐냐고 설명을 해줘야 구분이 된다. 좋은 교과서는 그게 써있다. (하지만 영어pdf 자료들을 살펴봐도, 대부분의 그렇게 친절하진 않은 것 같다)

 

이제 사과는 많이 이야기 했으니까 다른 예를 들어 보자.

 

1. 지하철을 타러 갔다. 한 칸에 10명이 있었다. (눈으로 봤을 때 느낄 수가 있다. 양을 나타내는 수이다.)

이 문장 앞에 붙인 1은 서수다. 1번째 문장.

 

2. 택시를 타러 갔다. 내 앞에 2명이 택시를 기다리고 있다. (나는 세번째로 줄을 섰다. 3번째라는 순서다.)

 

3. 오늘은 12월1일이다. (서수다, 영어로 1st December)

 

4. 한우 등심을 600g 사왔다. (양을 표현한다)

 

5. 여기서 서울까지 한시간이 걸린다. (시간의 크기)

 

이렇게 한마디로 정의할 수 있으면 좋겠으나 그렇지 않은 것들이 너무 많다. 욕심을 버리자. 이 정도를 분리해서 생각할 수 있다면 충분하다.

 

컴퓨터를 다루는데 수는 꼭 필요하다. 키보드를 누를 때마다 아스키코드의 값이 이진수로 CPU에 전달되고 있다. 타이핑만 하고 있어도 컴퓨터를 사용하는 것은 늘 숫자를 사용하는 것과 마찬가지다. 스마트폰도 똑같다.

 

컴퓨터 CPU에 숫자를 전달하다

 

*컴퓨터와 IT 수학 카테고리

많은 사람들은 이 주제에 대해서 무관심하다. 첫번째 스스로 노잼이라고 생각하는 사람이 있고, 두번째 이 주제를 다른 사람에게 이야기하면 노잼사람이 된다고 생각하는 사람이 있다.

 

확실히 수학을 주제로 스타벅스에서 재미있게 수다를 떨수있는 무리들은 많지 않을 것이다.

 

지금 4차산업 혁명이 진행 중이다. 예전에 수학을 몰라도 단전에 영업력을 끌어모아서 뱃심으로 살아갈 수 있었다. 기술자들이나 인문계열이나... 그러나 최근의 변화를 보면 그것은 앞으로 점점 더 어려워질 것으로 보인다.

 

알파고가 이세돌을 꺾은 후에 인공지능과 로봇이 인간을 대체한다느니 그런 이야기들은 귀에 못이 박히도록 듣고 있다.

 

인간형 로봇 소피아 https://www.youtube.com/watch?v=ZQrKFAAlxO4

 

각국 정부와 기업들은 기술적으로는 이미 많은 부분을 자동화 AI화 할 수 있음에도 불구하고 그렇게 하지 않는다. 왜냐하면 사람들의 직업을 유지 시켜야 하기 때문이다. 사람은 쓰고 버리는 존재가 아니다. 사람은 살아남아 시대를 이끌어야 한다.

 

언젠가는 없어질 직업들이 많지만 지금 당장 하지는 않는다. 그러니까 누군가 어떤 일을 하고 있다면 그것이 다음 세대에 넘겨줄 가치가 있는지 생각을 해봐야 한다. 예전에는 그렇게 하지 않았다. 기업의 담당자가 은퇴를 하면 그 자리를 똑같은 인원의 사람이 대체 했다. 사람들에게 그런 기대를 했다. 그래서 꼰대들이 생겨난지도 모른다. 내가 누린 후에 다음 사람이 누리니까 그 정도의 불만은 감수하라고.

 

분야에 따라 다르겠지만 대체적으로 한명의 담당자가 은퇴하면 다음의 담당자는 AI와 로봇이 될 거라는 생각은 도움이 된다. 그것은 나의 기대를 바꾸어 놓는다.

 

사람은 자리를 잇는 것에 연연하지 말고 새로운 가치를 창조하는 것이 목표가 되야 한다. 예전의 한국은 따라잡기가 온 나라의 목적이었지만 지금은 충분히 앞서있다. 앞사람만 잡아서는 뒤에서 치고 나오는 사람들에게 잡히고 만다. 앞사람들과 차이가 없어진 분야가 많아졌다. 이제 대한민국은 제대로 세계에 기여하고 찐 대접을 받아야 할 시기가 오고 있다.

 

4차산업에서 그것을 달성하려면 수학의 바탕이 있어야 한다. 일반인들도 카페에서 수학을 주제로한 대화가 일상화 될 수 있다.

물론 다른 과목도 잘해야한다 (영어,인문사회,예체능 등 ... 결국은 다잘해야함 ㅜㅜ)

 

수학과 가장 많은 논쟁을 하는 것은 의외로 철학자이다. 다른 관점에서 수학을 보기 때문이다. 그래서 티격태격하다가 학문을 발전시킨다. 그런 점들이 서양의 철학 역사의 매력적인 부분이다. 동양의 사상과 과학은 좀 다른 관점이니까.

 

마지막으로 추천 유튜브는 조봉한 박사님의 깨봉 인공지능 수학이다. 만명이 안되었을 때 부터 봤는데 이제 막 10만명이 넘었다. 수학을 너무 쉽게 알려주신다.

(구독자들의 대부분이 학부모들이다 애들이 봐야하는데 부모가 먼저 보고있음, 해서 조회수가 낮다. 애들은 깨봉이 아니라 지영쌤을 본다;;;)

 

https://www.youtube.com/watch?v=tGeJMMegcM0

 

 

컴퓨터와 IT를 다루는 일이 항상 수학적인 내용을 다루지는 않는다. 알 스웨이가트의 말처럼 대부분 사람들의 코딩은 블록쌓기와 같다고도 한다.

 

하지만 창의적이고 독창적인 프로그램을 개발하기 위해서는 역시 수에 대한 지식이 필요하다.

 

요즘의 수학 교재나 영상들을 보면 갈수록 재미있어지고 있다. 수학에 관심 없는 이들도 가장 기본부터 다시 흥미를 가지고 알아가면 좋을 것이다.