거듭제곱 의미 (square, power) 지수

현재의 수학 교육

중학교에 들어가면 지수의 법칙을 배웁니다.

 

그런데 처음부터 aⁿ 과 같이

너무 하드하게 가르치기 때문에

아직 수의 개념에 들어오지 못한

아이들을 빡치게 합니다.

 

수포한 인문계 학생들도

경영학이나 경제학 수업을 들으면

또 수학이 나오기 때문에

다시 한번 빡치게 되는데

자칫 평생 밑빠진 독에 물붓기가 될 수 있습니다.

 

4차 산업사회를 코앞에 두고 있는 현재

제대로된 수학의 기초 개념없이는

진행되는 분야가 하나도 없기 때문에

가끔은 다시 돌아와서 수학의 기초부터

돌아볼 필요가 있습니다.

 

다행히 요새는 예전과 달리 책도 잘 나오고

훌륭한 강의들도 무료로 혹은 저렴한 가격에

들을 수 있기 때문에

가끔은 대학이 무용하다는 생각도 듭니다.

유튜브나 유데미의 과목의 가격으로

대학 강의를 구성해 비교하면

대학은 등록금이 매우 비싸기 때문입니다.

 

요새는 웬만한 학교의 졸업장이 아니면

번듯한 기업에서는 쳐주지도 않기 때문에

(대기업 신입 입사는 바늘 구멍)

학비가 더 아깝게 느껴지는 시대입니다.

 

뭐 그래도 대학의 장점은 있겠죠.

졸업장을 얻을 수 있고

선후배 동기들과 교우관계 등을 잘 쌓아서

사회에서 도움이 된다면 아직 의미는 있을 겁니다.

 

하지만 역시 실력이 제일 중요한 것 같습니다.

수학도 하나의 실력일텐데요.

 

예전에는 수학이 별로 쓸모가 없었지만

4차산업 사회에는 모든 것이 수학적으로

돌아갑니다.

 

경영, 영업, 마케팅은 예전에는

인간관계로 했지만

이제는 빅데이터를 분석하는 능력

통계를 해석하는 능력

그런 프로그램을 다루고

스스로 코드를 작성할 수 있는 능력 없이는

생존이 불가능할 거라 봅니다.

 

지금까지도 코딩 관련해서 IT수학을 조금씩 다뤄봤는데요.

 

앞으로는 4차산업 시대에 필요한

수학의 기초, 수학적 사고들을 더 포스팅해보겠습니다.

 

거듭제곱

 

거듭제곱이란 말 부터가 거부감이 들 수 있습니다.

 

그러나 원리적으로 보면

거듭제곱은 곱하기의 연장선입니다.

 

곱셈의 원리를 정확히 알고 있다면

거듭제곱이 어려울 수가 업습니다.

 

곱셈은 같은 수를 더하는 것입니다.

2 x 3 은 2 를 세번 더하는 것이죠.

 

사칙연산이 아직 헷갈리면 아래 문서들을

참고하길 바랍니다.

 

덧셈 -> 곱셈 -> 거듭제곱의 체계로

이해할 수 있습니다.

 

즉 거듭제곱을 이해하기 위해서는

앞의 단계와 연결지어야 한다는 뜻 입니다.

 

선 위의 숫자 이야기 Number Line 수학을 바라보는 시선

선 위의 숫자 이야기 Number Line 수학을 바라보는 시선

수직선에서 덧셈과 뺄셈 | 숫자로 보는 인생

수직선에서 덧셈과 뺄셈 | 숫자로 보는 인생

마이너스와 마이너스를 곱하면 왜 플러스가 되는가? -1 x -1 = +1 인 이유

마이너스와 마이너스를 곱하면 왜 플러스가 되는가? -1 x -1 = +1 인 이유

뭐 너무 당연한 내용이지만

그 당연한 내용에도 심오한 의미가

담겨 있기 때문에 다시 리뷰해 보는 것 입니다.

 

대부분의 사람들이 수학의 벽에서

이탈하는 것은 앞단계를 빼먹고

다음 단계로 갔기 때문으로 볼 수 있습니다.

 

물론 고등 수학의 세계는

훨씬 추상적이고 관념적이기 때문에

그 자체가 어려울 수 있겠지만

대부분 중고등과정의 내용은

결국 얼마나 기초가 튼튼하느냐의 차이라고 볼 수 있습니다.

 

한국은 고등학교까지는

전세계에서 최고의 수학 성적을 내지만

대학교에 와서는 급속히 밀려서

현재 한국인으로써 세계적으로 인정 받는 수학자로는

한국인 최초 옥스퍼드대 김민형 교수님이나,

허준이 미국 스탠포드 교수님 정도가

대중적으로 알려져 있습니다.

 

이상하게 끝발이 없죠.

 

요즘 깨봉수학의 조봉한 박사님

강의를 즐겨 보는데

그분의 강의를 10분만 보면

초등학생도 미분적분까지 다 풀어버립니다.

 

뿐만 아니라 교육을 제대로 받지 못했던

어르신들 조차 수학의 원리가 이해된다는

댓글들이 많았습니다.

 

원리를 중심으로 영상을 사용해서

설명하기 때문에 더 쉽게 배울 수 있는데요.

이런 근본적인 교육이 이제라도

도입되기 시작하니 다행입니다.

 

지금의 아이들이 성인이 됬을때

훨씬 더 수학을 잘하게 되고

세계적 수학자들이 많이 배출 될 거라고 믿습니다.

 

자 이제 거듭제곱인데요.

 

2 + 2 는 덧셈입니다.

덧셈이기도 하고 곱셈이기도 합니다.

2 x 2 가 곱셈인데요.

2 x 2 는 2를 두번 더라하는 뜻이므로

2 + 2 입니다.

 

한편 2² 는 2의 제곱, 2의 2승이라고 하는데

이것도 풀어놓으면 2를 2번 곱하라는

2 x 2 이므로 2를 두번 더하면 2 + 2 가 됩니다.

 

제곱 -> 곱셈 -> 덧셈으로 내려왔는데

이 세가지 연산의 의미를 모두 알고 있어야

제곱을 이해할 수 있습니다.

 

다른 수로도 해보겠습니다.

 

수는 대수식으로 aⁿ 처럼 표현할 수 있지만

개별 숫자의 특성이 다 다르기 때문에

여러 숫자들의 특성을 하나씩 체크해보는 것이 필요합니다.

 

그 수에 대한 감각을 기를 수 있습니다.

 

3³ 은 어떨까요? 3의 3제곱, 3의 3승입니다.

 

3을 세번 곱하라는 뜻이죠.

3 x 3 x 3 입니다.

이는 3을 세번 더하고 다시 세번 더하는 것 입니다.

덧셈으로 표현하면

(3 + 3 + 3) + (3 + 3 + 3) + (3 + 3 + 3)

입니다.

 

다시 제곱 -> 곱셈 -> 덧셈이 되었습니다.

아까 2의2승 보다 덧셈으로 내려오니 훨씬 길어졌습니다.

여기서 중요한 장점을 이해한 것입니다.

 

- 제곱은 곱셈보다 숫자를 적게 쓴다.

- 곱셈은 덧셈보다 숫자를 적게 쓴다.

 

별거 아닌 장점으로 볼 수도 있겠지만

연산을 늘려간다면 어떨까요?

 

예를 들어 2의 10승 2^10(^는 제곱표시)을 곱셈으로

 

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

 

입니다.

 

덧셈으로는...

 

2 + 2 + 2 .... 2를 512개 써야합니다. (1024)

+ 플러스 기호는 510개 써야겠네요.

 

이는 2^10 = 1024 로 숫자 세개와

연산자 2개로 표현이 가능합니다.

 

연산의 양이 늘어날 수록 기하급수적으로

지면과 시간을 아낄 수 있습니다.

 

그런데 이런 큰 수를 왜 사용하는가?

그런 의문이 들 수도 있습니다.

 

2의n승은 자연계에서 흔히 볼 수 있는

현상입니다.

 

교과서에 자주 나오는 예 중에

대장균의 번식속도가 있는데요.

 

미생물은 일정시간을 주기로 분열합니다.

1시간에 3번 분열을 하는 대장균을

배양하면 처음에 1마리에서 시작합니다.

 

일정한 온도에서 분열 속도를 측정합니다.

 

한시간 뒤에는 2의3승이 됩니다.

두시간 뒤에는 2의6승...

세시간 뒤에는 2의9승...

 

이렇게 10시간 후에는 2의30승이 됩니다.

 

2^30 = 1,073,741,824

이는 10시간 만에 미생물이 1마리에서

10억개나 늘어나는데 이를 기하급수적인 증가라고 합니다.

 

우리가 음식을 상온에 놔두면

1시간 2시간만에 썩는 경우도 있습니다.

미생물의 크기는 매우 작기 때문에

이들이 음식안에서 이동하는 속도는

매우 느리지만 이들이 음식을 소화하며

분열하는 속도가 워낙 빠르다 보니

몇 시간만에 음식이 상하는 겁니다.

 

여름철에 식중독이 잘 걸리는 것은

이 미생물의 번식속도와 상관이 있습니다.

이는 거듭제곱의 원리입니다.

 

거듭제곱은 수학의 세계에 있는 현상이 아니라

우리가 생활하는 실세계에서

항상 적용되는 원리입니다.

지수 법칙

지수법칙을 매우 쉽게 설명하시는 분은

김지영 선생님의 검정고시 유튜브 수업이

제일 낫더군요.

 

이 강의면 중학교 졸업을 안했더라도

충분히 이해할 정도입니다.

 

2019 NEW ] 지수법칙 - YouTube

검정고시 수학

 

1.지수의 덧셈

 

에디터에서 지수 기호를 쓰는게 한계가 있어서

 

a^n x a^m = a^n+m 

 

이 표기로 대신해야 할 것 같네요.

 

a의 n승 곱하기 a의 m 승은 a의 n+m 승이다.

 

2² x 2³ 을 풀어보겠습니다.

 

결과는 2⁵ = 32 인데요.

 

곱셈으로 풀으면 (2 x 2) x (2 x 2 x 2) 입니다.

덧셈으로 풀으면 2를 16번 더한 것입니다.

 

이와 같은 원리로 지수의 뺄셈은 마이너스가 됩니다.

 

a^n / a^m = a^n-m 

 

2. 지수의 곱셈

(a^n)^m = a^(n x m)

 

a의 n승을 m승하면 a의 n곱하기 m 승이다.

 

이번엔 (3²)³ 을 풀어놓으면

 

(3 x 3) x (3 x 3) x (3 x 3) 입니다.

덧셈으로는 (3 + 3 + 3) ... 3을 243번 더한 값 입니다.

 

거듭제곱의 곱셈이므로

거듭제곱의 덧셈보다

당연히 숫자가 커집니다.

 

3의 5승은 243, 3의 6승은 729입니다.

 

3. 지수의 분배

(ab)^n = a^n x a^n

 

이는 지수n을 분배함을 나타냅니다.

 

(2x3)² 를 풀어보면

 

(2 + 2 + 2) x (2 + 2 +2) = 6 x 6 = 36 입니다.

(3 + 3) x ( 3+ 3) = 6 x 6 = 36 이고요

여기서 6은 (2x3) x (2 x3) 에서

(2 x 2) x (3 x 3) 이므로 

2² x 3² 은 6 x 6 = 36입니다.

 

또 다른 예로 (3x4)³ 에서  

 

(3 + 3 + 3 + 3) x (3 + 3 + 3 + 3) x (3 + 3 + 3 + 3)

= 12 x 12 x 12 = 1728 이며

12는 3 x 4 이므로

(3 x 4) x (3 x 4) x (3 x 4) 에서

(3 x 3 x 3) x (4 x 4 x 4) 이니까

3³ x 4³ = (3x4)³ 이 됩니다.

 

이 세가지는 가장 기본이 되는 연산 법칙입니다.

이를 바탕으로 유리수와 실수, 복소수까지

확장이 가능합니다.

 

지수법칙이라는 공식에 얽메이지 않고

제곱의 바닥에 깔린 원리에 포커스를 맞출 수 있다면

앞뒤로 응용하는 것도 얼마든지 가능합니다.

 

뭐든지 그대로 받아들이지 말고

하나씩 분해하는 과정이 중요합니다.

 

우리가 알고 공교육에서 가르치는

수학은 사피엔스 30만년의 역사중에서

아주 최근 몇백년 사이에 나온 개념입니다.

 

그러다 보니 적응할 시간이 적어서

보통사람 인간의 뇌는 수학적 사고에

발달이 덜 되었다고 합니다.

 

이유는 간단하죠. 우리 조상들 중에

수학을 했던 분들이 얼마 없었기 때문입니다.

우리의 후손들은 수학을 잘하도록

뇌의 기능이 업그레이드 될 것이라 봅니다.

 

외계인들과도 언어는 안통해도

수학으로 교신이 가능하다고 하니까

그럴 수도 있지 않을까 생각해봅니다.

 

소수의 정의 (prime number) / C++ 소수 구하기 / 수의 원자(atoms of Numbers)

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