마이너스와 마이너스를 곱하면 왜 플러스가 되는가? -1 x -1 = +1 인 이유

현재 인류의 수학의 세계

아마 모든 공교육의 문제일텐데...

사칙연산의 원리는 초등학교 때

모두 이해했다고 착각을 합니다.

 

중학교에 와서는 집합부터 배우기 때문에

사칙연산의 원리 같은 것은

완벽히 마스터했다는 가정하에 진행하다보니

수포자들이 많이 생겨날 수 밖에 없는 구조입니다.

 

그러나 우리가 알고 있는 공학적 가치가 높은

수학의 역사는 그리 오래되지 않았습니다.

 

뉴턴이 프린키피아에서 뉴턴 역학을

제시함으로써 과학혁명을 발달시켜

현재까지의 문명을 뉴턴의 세계관이라고 합니다.

 

이제 20세기에 아인슈타인이

상대성이론을 발표함으로써

뉴턴 역학의 한계를 돌파하지만

빛의 속도에 가깝게 우주를 여행하는

아인슈타인의 사고 실험은

아직 현실에 구현되지 않았습니다.

 

원래 이론적 아이디어가 나오면

그 아이디어가 과학혁명으로 이어져서

공학의 적용단계까지 도달하는데는

2-3세대가 소요된다고 합니다.

 

21세기는 컴퓨터의 시대라 부를 수 있는데

폰 노이만 구조는 1945년에 발표되었습니다.

우리가 사용하는 PC나 스마트폰 등

거의 80년전의 아키텍처를 기반으로 하고 있습니다.

 

그러니까 아이디어가 먼저 나오고

그를 실행하는데는 수많은 시간이 소요된다는 뜻입니다.

 

인류가 스타트랙처럼 성간여행(인터스텔라)을
보편적으로 하게되는 날이 오기까지

얼마나 많은 시간이 소요될지는 모르겠습니다만

암튼 아이디어는 이미 나와있습니다.

 

이 아이디어를 이해하기 위해서는

자연의 언어를 배워야 하는데요.

 

자연의 언어란 수학을 말합니다.

수의 원리는 전 우주에 적용된다는

가정을 하고 있기 때문에

(설령 우주의 끝에 가보지 않았어도)

 

기초를 꿰뚫는 것은 중요합니다.

 

수학은 기초가 없으면 밑빠진 독과 같아서

아무리 노력을 해도 한계가 있습니다.

 

수학 과목이 어렵다면

영어를 배우는 원리를 생각해봅니다.

 

영어를 배우는 목적은

영어로 대화를 하고

영어로 방송도 보고

영어 이메일도 쓰고

영어 검색도 하기 위해서 입니다.

 

좀 더 영어를 잘하게되면

영어로 블로그를 쓰거나

인터넷 방송도 할 수 있겠죠?

 

영어를 하게 되면

영어권 세계에 속하게 되고

영어를 통해 돈도 벌 수 있습니다.

 

전세계 영어 사용자는 20억에 달하고

가장 강한 나라, 예를 들면 미국은

영어가 모국어입니다.

 

교육을 받은 대부분 유럽 사람들은 영어를

제2언어로 장착하고 있습니다.

 

언어를 배운다면 세계인으로써

큰 이점이 됩니다.

 

그렇다면 자연의 언어인 수학은 어떨까요?

 

수학을 배우면

자연을 이해하고

자연을 이용할 수 있게 됩니다.

 

수학을 하지 않아도

우리는 자연계에 속해있겠지만

수학을 알게 되면

자연의 세밀한 부분까지

이해하고 사용할 수 있게 됩니다.

 

영어를 배우면 영어권 사용자들과

소통이 가능하지만

수학을 배우면 전 우주의 사물과

소통할 수 있는 길이 열립니다.

 

다소 추상적이니까

 

예를 들어 컴퓨터는 모든 것이

수학적 원리로 이루어져 있습니다.

컴퓨터라는 단어 자체가

'계산하다, 연산하다 - compute'

뜻을 담고 있는 만큼 

수학을 위한 기계입니다.

 

물론 우리는 컴퓨터로 인터넷도 하고

뉴스도 읽고 동영상도 보고

게임도 합니다.

 

이 모든 원리의 중심은 수학입니다.

 

특히 컴퓨터는 0과 1의 이진법을 사용해서

모든 연산을 하고 심지어 스크린의 그래픽도

분해하면 0과 1의 이진법으로 저장되어 있습니다.

 

뿐만아니라 0과1로 집합, 실수, 복소수

미적분까지 모두 계산할 수 있습니다.

 

즉 컴퓨터 공학을 하면서 수학을 모른다는 것은

불가능한 것 입니다.

 

물론 수학을 많이 사용하지 않고도

프로그래밍을 할 수 있지만

어쨋든 그 근간에 자연의 언어인

수학적 원리가 내재되있다는 것은 변하지 않습니다.

 

단지 high-level(고수준) 프로그래밍을 하기 때문에

그 밑바닥에서 일어나는 일까지 고민하지 않을 뿐이죠.

 

 

사칙연산의 원리

사칙 연산을 원리적으로 알기 위해서는

지난 포스트의 수직선 개념을 활용하면

누구나 어렵지 않게 이해할 수 있습니다.

 

수직선에서 덧셈과 뺄셈 | 숫자로 보는 인생

수직선에서 덧셈과 뺄셈 | 숫자로 보는 인생

선 위의 숫자 이야기 Number Line 수학을 바라보는 시선 

선 위의 숫자 이야기 Number Line 수학을 바라보는 시선

 

마이너스 곱하기 마이너스

일반적인 기초원리는 수직선에서

이해할 수 있을 겁니다.

 

여기서는 마이너스 곱하기 마이너스라는

특정한 주제에 대해서 알아보겠습니다.

 

정수에는 양수와 음수 그리고 0이 있습니다.

 

0이 왜 있냐면 기준이 되기 때문입니다.

 

0을 높이라 한다면 어떤 기준을 잡아도 상관없습니다.

 

예를 들어 서울의 아파트에서 1층에 사는 사람은

1층이 0이고 위에 10층은 +10입니다.

 

지하주차장 2층은 -2 입니다.

 

이렇게 양수와 음수란 

기준에서 상대적인 위치와 방향성을 의미합니다.

 

사칙 연산에서

 

1. 양수 + 양수

2. 양수 - 양수

3. 음수 + 음수

4. 음수 - 음수

5. 양수 + 음수

6. 양수 - 음수

7. 음수 + 양수

8. 음수 - 양수

 

같은 다양한 경우를 생각해 볼 수 있는데요.

 

곱하기의 경우에는 경우가 더 줄어듭니다.

 

1. 양수 x 양수 = 양수

2. 양수 x 음수 = 음수

3. 음수 x 양수 = 음수

4. 음수 x 음수 = 양수

'양수 x 음수' 나 '음수 x 양수' 는 같은 것 입니다.

(교과서에서는 교환법칙이란 말을 씁니다)

 

우리가 알고 싶은 것은 음수 x 음수

즉 마이너스 곱하기 마이너스가

왜 양수인가 입니다.

 

곱하기의 뜻은 덧셈의 반복을 의미합니다.

 

예를 들어 2와 5의 곱은

2를 5번 더한 것 입니다.

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

 

교환법칙으로 5 x 2 라고 하면

5를 두번 더한 5 + 5 = 10 입니다.

 

서양에서는 두 수의 곱한 값을

product 라고 합니다.

 

product 의 뜻이 상품, 산출물 정도니까

곱셈의 결과값에는 가치가 생기는 것으로

해석할 수도 있겠네요.

 

양수의 곱셈은 양수입니다.

여기서 부호를 표시하면

더 명확해지는데요.

 

2 x 5 를 +2 x +5 라고 한다면

이는 사실 (0 + 2) x (0 + 5)를 의미합니다.

기준점을 중심으로 보는 겁니다.

 

그러므로 +2 의 의치를 +의 방향으로 

5번 더한다는 세밀한 정의가 가능합니다.

 

다음은 음수와 양수의 곱입니다.

-2 x  5 입니다.

풀어서

(-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2)   

가 됩니다.

 

-2의 방향으로 5번 더하니까 -10이 됩니다.

(-2) x 5 = -10 입니다.

 

그 다음은 양수와 음수의 곱입니다.

 

앞선 음수와 양수의 곱과

교환법칙에 의해서 결과는 같습니다만,

의미는 조금 다르게 볼 수 있습니다.

 

(+5) x (-2) 는 +5를 두번 빼라는 의미입니다.

음의 방향으로 더한다고 표현할 수도 있습니다.

 

-(+5)-(+5) = -10

 

음수와 양수의 곱과 답은 같지만

생각하는 과정은 차이가 있습니다.

이 생각하는 차이가 있음에도 불구하고

답이 같다는 것을

'곱셈의 교환법칙이 성립한다' 고 말합니다.

 

음수와 음수의 곱셈

여기까지의 과정을 따라왔다면

음수와 음수의 곱셈은 이미 이해한 것과 마찬가지입니다.

 

(-2) x (-5) 의 예로 알아보겠습니다.

이 식을 풀어보면

 

-(-2) - (-2) -(-2) - (-2) - (-2)

 

와 같이 됩니다.

 

(-2) x (+5) 가

+(-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2)

이므로 부호가 반대죠?

 

(-2) x (-5) 는

-2 를 5번 빼는 것이라고 말할 수 있습니다.

 

아니면

-(-2) - (-2) -(-2) - (-2) - (-2) 이거를

- ((-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2))

이렇게 부호를 뺄 수도 있씁니다.

 

-2를 다섯개 더하면 -10 입니다.

여기서 부호를 반전하면 -(-10) 으로

+10입니다.

 

약간 이해를 돕기위해 그림을 첨부하면

아래와 같습니다.

 

-2 x -5 =10

뺀다는 의미는 절대적인 마이너스를 이야기하는게 아닙니다.

 

오히려 방향이 반대가 마이너스입니다.

 

-2 x - 5 = 10

하나씩 빼는게 귀찮으면

한번에 퉁치는 것도 가능합니다.

 

방향을 180도로 반전합니다.

수평선이 아니라 수직선으로 해도

결과는 같습니다.

 

(-1) x (-1) = +1

마이너스1 곱하기 마이너스 1은 왜 플러스 1일까요?

 

위의 원리를 이해했다면

바로 풀리는 문제입니다만

한가지 더 표기를 해보겠습니다.

 

-1 은 편의상 -1 이라고 합니다.

 

사실 더 정확한 표현은 0-1 입니다.

 

반대로 +1은 0+1 입니다.

 

기준점이 꼭 0일 필요는 없습니다.

기준점이 1,2,3 같이 양수나

-1,-2,-3 처럼 음수를 잡아도 됩니다.

 

어차피 기준이 달라도 움직이는

동작은 같으니 상관없습니다.

 

다만 수학자들은 기호가 적을 수록 좋다고 생각합니다.

 

컴퓨터 코드도 수학이 원리이기 때문에

컴퓨터 코드도 짧은 코드를 좋아하는 것과 같죠.

 

피보나치 수열의 배열 처럼

인간 뿐만 아니라 자연은 짧은 것을 좋아합니다.

 

더 적은 에너지로 더 많은 일을 하는 것이

우주의 미덕이기 때문입니다.

이는 더 적은 에너지로

더 많은 생명체를 창조할 수 있음을 의미합니다.

 

수학을 신봉하는 과학자들은 창조주의

두되는 수학이라고 주장하기도 하는데요.

 

어쨋든 이제 수학의 원리를 파고들기 위해서는

부호 하나하나를 아주 세심하게 체크해봐야 합니다.

 

오랜 기간 재미없게 수학 수업을 들은

공교육이 많은 사람들을 '수포자' 혹은

'수학안티' 로 만들어 버려서 이런 주제의 인기가 없습니다.

 

그러나 사람들이 수학 불감증이 된 것과 별개로

여전히 수학은 자연계의 원리이며

우리는 그것을 매일 경험하고 살아가고 있습니다.

 

자 이제 세심하게 (-1) x (-1) 을 풀어보겠습니다.

 

-1 은 (0-1)이라고 했습니다.

 

이를 이용하면

 

(0-1) x (0-1)

= -(0-1)

= +1

이 됩니다. -1 을 1번 뺀 것이죠.

 

말로 설명하면...

 

0에서 -1로 이동한 점이 있습니다.

위치적으로는 1 방향적으로는 - 방향이죠.

이를 한번 뺍니다.

 

뺀다는 것은 방향의 반전을 의미합니다.

수직선이나 수평선에서 보면

방향을 180도 돌리는 것 입니다.

-1 의 반전은 +1 입니다.

 

애초에 마이너스가 어떤 양이 아니라

방향이라는 것을 캣치했다면

어렵지 않을 내용입니다.

 

결론

 

오늘날 수학자들이 방향에 관한 정의를

+, - 기호로 한 것은 위에서 설명한 의미들을

지극히 단순화 시킨 것 입니다.

 

왜 그랬을까요?

 

자연계에서 일어나는 사건들을 관찰하고

기호로 표기하다 보니 이렇게 된 것 입니다.

 

간결하게 의미를 전달하면

더 복잡한 공식도 사용할 수 있습니다.

 

그러나 이를 처음 배우는 사람들은

그 내용이 뭔지 알 수 없습니다.

 

이것이 아무리 산수연습을 해도

수학적 사고력이 늘기 어려운 이유입니다.

 

그러다 보니 투자하는 시간에 비해

실력이 잘 안오르는 것을 스스로 느끼고

더 잘할 수 있는 과목에 집중하게 되는 효과를 낳습니다.

 

분명한 것은 미래 사회에서는

수학교육이 더 좋아질 것 이라는 것입니다.

 

아쉽게도 우리는 그렇게 수학을 잘 가르치는

공교육 시스템에 살고 있지는 않습니다.

 

다행인 것은 우리가 찾으면 찾을 수록

더 좋은 교육을 받을 수 있는 시대라는 것 입니다.

 

찾을 수 있는 열정이 있는 사람들에게만

보이겠지만요.

 

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