0.999... = 1 수학 논쟁
0.999... = 1
이제는 중학수학 수준에서
배우는 내용이 되었습니다만
수학자들간의 논쟁은 아직
계속되고 있는 것 같습니다.
이럴 때 보면 수학도 약간
믿음의 영역도 있는 것 같아요.
나에게 보이지 않는 것
내가 믿을 수 없는 것을
즉 인식이 불가능한 범위의 내용을
인정하는 것은 상당히 어렵습니다.
아무리 봐도 느껴지지 않는데
인정하라고 강요하는 것도
좀 쉽지 않은게 아닐까 생각이 듭니다.
0.999... = 1 은
0.999999999999999999...
이렇게 무한히 계속되는 순환소수가
1보다 작은 값이 아니라 1 그 자체라는 것은
수학계에서는 증명된 사실입니다.
유튜브채널 이상엽Math의 이상엽 선생님은
0.999... 에 대한 3가지 주요 오해를 소개하며
수학 토론의 장을 열어주기도 했는데요.
깊이 들어가면 좀 혼란스런 개념인 것 같습니다.
그 보다는 중학교 수학 수준에서
직관적으로 이해할 수 있는 방법들이 있습니다.
이에 대한 증명 방법이 하나만 있는 건 아닌데요.
보통의 방법을 중심으로 알아두면 그래도
좀 뭔가 알 것 같은 느낌적인 느낌이므로
두 세가지 정도 알아두면 최소한
어디가서 꿀리지는 않을 것 같습니다.
(수학 nerd 앞에서는 주의할것)
1. 대수적 증명
0.99999... = 1
1을 x로 두면
x = 0.999...
에서
10x = 9.999... 가 되고
x = 0.999... 를 빼면
9x = 9 가 되므로
x = 1 입니다.
순환소수를 순환소수로 뺌으로써
정수를 남기는 방식입니다.
100x = 99.999...
x = 0.999...
으로 바꿔도
99x = 99
x = 1
이므로 순환소수만 서로 밀어내면 됩니다.
2. 간단한 증명
처음에는 이게 설명이 쉬워서 좋은데요.
1/3 = 0.333....
3분의 1은 무한소수 0.3333... 입니다.
이것은 초등학교 때 배우죠?
의미를 이해할 수 없지만
3을 1로 나누면 뭔가
떨어지지가 않습니다.
0.3333... 은 영원히 가는 순환소수입니다.
이는 1/3 과 정확히 일치합니다.
여기서 1/3 을 x3 해보면
1/3 + 1/3 + 1/3 =
0.333... + 0.333... + 0.333...
= 0.999...
가 되므로
1= 0.999...
가 됩니다.
여기서 주의할 점은 0.999...는
한없이 1에 가까이 가는 값이 아니라는 것입니다.
0.999... 는 1을 표현하는 다른 방법일뿐
1과 같습니다.
수직선에서 1은 0.999... 와 같습니다.
이는 다른 어떤 분수를 사용해도
같은 형태로 진행이 됩니다.
1/11과 10/11
1/12와 11/12
분리한 다음에 다시 합체시키면
0.999... 가 나옵니다.
3. 극한으로 증명
극한으로 증명하는 것은
훨씬 복잡한 과정을 거쳐야 하나
엄밀한 증명 과정을 생략하면
위와 같은 정리를 할 수 있습니다.
한국 중등과정에서 이 문제가 회피되어 있어서
학생들이 가장 많이 질문하는 문제 중 하나라고 합니다.
4. 깨봉 수학
깨봉 선생님이 최근에 다룬 영상에는
학생 구독자가 0.999... 는 유리수이면서
분수로 나타내지 못하는데
그러면 이것은 유리수가 아닌게 되는데
뭐가 문제냐고 질문을 합니다.
즉 0.999.... 가 유리수인지 물어보는 질문입니다.
유리수 = 분자/분모
에서 분자, 분모가 자연수인데
순환소수인 0.999 라는 분수는 없다.
이것은 왜 안되느냐? 이런 질문입니다.
깨봉 수학에서는 식으로 증명하는 것 보다는
이미지를 활용하는데요.
여기는 원래 쉬운 수학을 추구하는 곳 입니다.
그림으로 보면 이해가 더 쉽네요.
그런데 이것만으로 0.999.... 가 1이 된다는
증명은 충분하지 못한 것 같기도 합니다.
0.999....는 항상 0.0000.... 1만큼
모자라다는 생각이 드는데요.
수체계에서 A = B 라는 것은
A와 B 사이에 수가 없어야 하는 것 입니다.
두 숫자 사이에 뭔가 다른게 들어있다면
당연히 둘은 같다고 할 수 없겠죠.
똑같다는 것은 둘 사이에 무언가가 없는 것 입니다.
그럼 0.999.... 와 1 사이에는
0.000... 1이라는 숫자가
없다는 말 입니다.
둘 사이에 수가 없으니
둘의 위치는 고정되있는 것 입니다.
아주 작은 숫자라도 허용하지 않겠다는 것이죠.
이것을 직관적으로 이렇게 볼 수도 있습니다.
수영선수가 25미터 수영장에서
반대쪽까지 가서 턴을 합니다.
25미터는 고정되있지만
턴을 할 때 수영선수는 터치를 하고
돌아갑니다.
25미터의 벽과 터치하는 팔 사이에는
엄밀하게 보면 아주 미세한 틈이 있습니다.
그렇지만 25미터 지점을
터치했다고 인정합니다.
25미터 지점과 터치한 위치는 같은 것 입니다.
극한에서 다가가는 개념때문에
항상 약간의 틈이 남아있다고 생각하게 되지만
그런 틈이 없는 것 입니다.
암튼 이 토론을 이어 나가려면
대학 수학인 해석학을 배워야 한다고 하니
입시 목적이 아니라면 일반인은
거기까지 생각할 필요는 없을 것 같습니다.
위의 증명들로
그냥 0.999... = 1 이다
받아들이는게 제일 좋을 듯 합니다.
