중학수학 | 0이란 무엇인가?

0은 무엇인가?

수의 세계에서 0은 특별한 위치를 갖고 있습니다.

현대인은 0의 개념을 무리없이 받아들이지만 0이 발견된 것은 5세기경 인도에서 사용하기 시작했다고 합니다. 그러니까 그 전에 0이라는 개념이 설령 존재했다고 하더라도 기호로 표현해서 사용하지 않았다는 것 입니다.

컴퓨터는 0과1이 없으면 동작할 수 없는데 지금이라면 0 없는 세상은 상상이 가지 않지요. 어쨋든 그 옛날에 0이 없어도 살아가는데 지장은 없었나 봅니다.

0이 유럽에 흘러들어가 지금과 같은 고도의 수학을 발전시키는 토대가 되었던 만큼 지금까지도 0에 대한 많은 논의가 있습니다.

수학 교육과정에서 초등학교까지 배우는 0은 어떤 것이 없는 상태의 0과 사칙연산에서 자릿수 (10, 1005 같은)까지 입니다.

중학수학에서는 대수를 배우면서 0의 다른 의미를 배우게 됩니다.

0의 의미

* 다음의 0의 네가지 의미에 대하여 생각해 보겠습니다.

① 없다의 0

② 자리수의 0 (10, 100, 1000 ... )

③ 기준의 0

④ 균형의 0

1번과 2번은 덧셈과 뺄셈으로도 이해할 수 있습니다.

-> 3 - 3 = 0 사과가 3개 있었는데 3개를 다 먹었다. 사과는 0개 남았다.

-> 9+1 은 9까지의 숫자로 표현이 안되니 10 이라고 표현합니다. (1 x 10) + (0 x 1)

3번에서 마이너스의 세계를 알 수 있습니다. 0을 기준으로 왼쪽은 음수 오른쪽은 양수로 나눌 수 있죠.

초등학교에서도 이정도는 계산할 수 있겠지만 학년이 올라서 이제 그 의미에 대하여 본격적으로 탐구하는 시간이 온 것 입니다.

3번의 예를 볼까요?

- 아르바이트를 해서 번 돈을 +10,000원이라 하면, 영화관에서 표를 산 것을 -12,000원이라 표현할 수 있습니다.

[수입 +10,000 과 지출 - 12,000]

- 따뜻한 날의 온도는 섭씨 25도 였고 날씨가 추워지니 섭씨 -10도로 떨어졌습니다.

[+25도, -10도]

기준점이 0에 있음을 알 수 있습니다.

돈이 내 통장에 50만원 있었다 하더라도 기준점을 0으로 잡으면 수입과 지출에 대한 개념이 생기기 마련이고,

온도의 경우 섭씨와 화씨가 다르지만 우리가 사용하는 섭씨는 물이 어는 지점을 0도로 설정해 놓았습니다. 0은 바깥의 온도를 알면 물이 어는지 녹는지 알 수 있는 기준이 됩니다.

4번의 예는 다음과 같습니다.

- 축구 경기에서 A팀이 2골을 넣었습니다. 경기가 끝났는데 골득실이 0이었습니다. 상대인 B팀이 2골을 넣었기 때문이죠.

- 부채가 100만원 있는 사람이 있습니다. 이 사람의 통장에는 100만원이 있는데 재산은 0원입니다. 재산이 왜 0인가요?

* 축구경기는 더 많은 골을 넣은 팀이 이기는 경기입니다. 즉 균형보다 높은 점수를 가진 팀이 승리합니다. 상대편이 2점을 넣고 우리팀이 2점을 넣었다면 골득실이 0으로 무승부가 됩니다. 만약 우리팀이 3점을 넣었다면 우리팀의 골득실이 +1 상대팀은 -1로 양수의 골득실을 가진 팀이 승리합니다.

* 부채는 은행 등에서 빌린 돈입니다. 은행에서 빌린돈 100만원을 돌려주면 이 사람이 가진 돈은 0원이 됩니다. 즉 이 사람이 가진 것은 0원으로 돌아와 균형을 이루게 됩니다.

4번 균형의 예는 다양하게 사용됩니다. 연봉이 100억인 축구선수가 있고 70억인 축구선수를 비교하면 연봉 100억인 축구선수가 70억 받는 선수보다 30억을 더 받습니다. 이 때 70억 받는 선수를 0이라고 하면 30억만큼 더 받는 것입니다. 연봉이 깎여서 둘다 70억을 받으면 이 둘의 차는 0으로 돌아와서 균형이 잡힙니다.

식으로 표현하면 70 < 100 에서 70 = 100-30 이 됩니다.

* 이렇게 기준의 0과 균형의 0을 알게 되면 음수의 세계에서 수를 다룰 수 있습니다.

셈이 빠른 사람들은 이 성질을 본능적으로 잘 활용할 수 있습니다. 젊은 나이에 사업이 성공해 큰 돈을 벌거나 투자를 잘하는 사람들 0을 기준으로 해서 지출보다 더 많은 돈을 버는 방법을 알고 실천한 사람들이죠.

1달이라는 기간을 잡고 수익을 지출보다 높이면 회사는 돈을 벌게되고, 경쟁회사가 100만원의 매출을 올릴 때 우리회사가 200만원 매출을 올리도록 해서 경쟁에서 승리할 수 있도록 합니다. 마치 축구 경기의 골득실에서 이기는 것과 같습니다. 많이 이기다 보면 토너먼트에 진출해서 우승까지 노려볼 수도 있겠죠? 대한민국 1위 기업들은 처음부터 1위였던 것이 아니라 많은 회사와 경쟁을 하며 골득실을 많이 내서 승리한 기업들이라 할 수 있습니다.

0의 개념에서 출발해서 냉정한 경쟁의 세계까지 살펴보았는데요. 0의 의미를 확장해서 양수(플러스)와 마이너스(음수)에 사용할 수 있다는 것이 포인트입니다.

초등학교에서는 사물이 있고 없고만 계산할 줄 알아도 대견한 일이지만 중학수학에서는 기준과 균형에 대하여도 계산할 수 있습니다. 양의 수 만큼 음의 수도 큰 수가 있다는 것을 깨닫는 것도 하나의 가르침이 될 수 있습니다. 큰돈을 버는 것도 잃는 것도 최종적으로 수학으로 계산이 됩니다.

중학수학이지만 어른들도 다시 한번 리마인드 할 필요가 있는 것이 0 이 아닐까 싶습니다.

이 블로그의 주된 컨텐츠인 컴퓨터 프로그래밍에서도 중학수학을 응용하는 코드가 등장합니다.

요새는 파이썬으로 중학수학을 구현하는 강좌들도 늘어나고 있습니다.

아무래도 중학수학에는 실용적인 내용이 많은데 그 중에 첫번째로 알아야할 개념인 0에 대하여 리뷰해봤습니다.