대수기초 | 파이썬 수학 | A FIRST BOOK IN ALGEBRA - 8

드디어 대수학 곱셈이다.

산수(arithmetic)에서 곱셈은 같은 숫자를 더하는 것이라고 배웠다.

8 = 2 x 2 x 2

-> 2 를 2회 더하고 다시 2회 더하면 8

6 = 2 x 3

-> 2를 세번 더하면 6이다.

a^3 = a.a.a

a를 a회 더하고 다시 a회 더한다.

multiplicand 는 반복되는 같은 숫자이고, multipier 는 반복하는 횟수이다.

대수에서는 마이너스도 있다. (제곱)

곱셈에서는 부호를 가 혼합된 4개의 케이스가 있다. ++, -+, +-, -- 하나씩 살펴보자.

*양수와 양수의 곱은 양수이다 4 x 7 = 28

4가 플러스 방향으로 7번 더해졌다.

*음수와 양수의 곱은 음수이다 -4 x 7 = 28

-4를 같은 방향으로 7번 더하면 -28이다. +의 multiplier는 같은 방향으로 유지한다.

*양수와 음수의 곱은 음수이다 4 x -7 = -28

4를 7회 더하면 28이다. 부호가 마이너스 이므로 0을 기점해서 반대쪽으로 넘겨버린다.(반전) -28이 된다.

*음수와 음수의 곱은 양수이다 -4 x -7 = 28

-4의 상태를 7회 더한다. -28이다. 여기서 0을 기준잡고 반대쪽으로 넘겨버린다. (반전은 마이너스) 28이 된다.

이 네개의 조합이 기본 곱셈 연산이다. 대수는 특정 숫자가 아니라 a 나 b^2, ab+2 등 문자로 표현한다. 문자로 표현된 것은 수직선에서 하나의 길이로 생각할 수도 있다. 마이너스는 수직선에서 0을 기점으로 반전한다는 것을 생각하면 왜 음수와 음수의 곱이 양수가 되는지 쉽게 이해할 수 있다.

대수를 넣어도 마찬가지 원리로 작동한다. 대수를 사용하면 하나의 양으로써 길이 또는 크기의 단위를 만들 수 있다. 단순한 산술계산에서는 얻을 수 없는 이점이다. 숫자는 길이에 하나만 넣을 수 있지만 대수를 사용하면 하나의 길이에 복잡한 구조를 만들 수 있다.

이 과정을 생략하다 보니 일반 대중이 점점 수학자들을 이해하기 힘들어진다. 그러나 4차산업으로 달려가는 최근의 흐름에서는 수학과 인문학이 다시 부활하고 있다. 미래의 인류는 개개인이 상당한 수준의 수학가가 될 것이라 생각한다. 지금까지는 너무 재미없게 가르치는게 문제라고 느끼지만 그 조차도 대중들의 관심에서는 멀어져 있었다.

수학은 지구상에서 인간만이 할 수 있는 능력이고 재미있는 것이다. 서양 역사에 따르면 기원전 300년 고대 그리스에서 수학이 번영했고 그 후 2000년간 뉴턴이 등장하기 전까지 수학에 진전이 없었다고 한다. 현재 인류의 관점에서 보면 르네상스 이전의 역사는 거의 모든 부분에서 암흑이다.

21세기가 되서 드디어 수학를 비롯한 자연과학이 부흥하고 있다. 그런데 부흥의 역사가 너무 짧아서 가르치는게 형편없는 방식이라는 것은 인정할 수 밖에 없다. 30만년을 살았다는 인류가 이제서야 뭘좀 알아가고 있는 것이다. 인류는 수학보다 불을 쓰는걸 더 잘한다. 그건 역사가 수십만년이고 이건 고작 몇백년이 채 되지 않으니까 당연한 것이다.

필자는 수학을 잘하는 것이 어려운 수학문제들을 신속하게 풀이하는 것으로 생각하지 않는다. 그렇다면 보통 사람은 할 필요도 없고 해서도 안되는 영역이다. 그게 아니라 우리 주변의 모든 것들에 수학의 원리가 작용한다는 것을 알고 느끼는 것이라 생각한다.

학원과 학교에서 수학의 스킬을 배울 수는 있지만 마인드는 배울 곳이 마땅찮다. 그래서 사람들은 여전히 수백년 전의 선인들을 찾는다. 유클리드, 뉴턴, 맥스웰을 찾는 것은 인류가 그 다음 단계로 아직 나아가지 못했기 때문일지도 모른다.

4차 산업사회가 완전히 실현되면 인공지능이 일상생활에서 우리 대신 모든 것을 해줄 것이다. 특히 수학의 연산은 AI를 따라갈 수 없다. 최근에는 뜻이 있는 수학 교수들중에 인공지능이 가지지 못한 능력을 키워야 한다고 강연 하기도 한다. 그분들은 어떻게 될건지 어느정도 예측이 될거라 생각한다. 다만 미래사회의 무서운 이야기를 굳이 대중에게 해봤자 악플세례만 받고 상처만 입을지도 모른다.

결론은 수학을 잘하는게 아니라 수학의 마인드셋을 가져야 한다고 한다. 한개를 알아도 잘 알면 된다. 수많은 공식들을 다 외우고 다니는 사람은 없다. 최근의 프로그래머들도 수많은 라이브러리와 프레임워크(소프트웨어를 작동시키는 엔진 같은 것이다)를 모두 외우고 다니지 않는다. 개발환경이 좋아지고 기술이 좋아져서 인터넷만 연결되어 있으면 웬만한 정보는 다 얻을 수 있다. 인간만이 할 수 있는 설계와 창조, 문제해결에 집중하는 것은 암기에 의존하지 않는다. 그것도 마인드셋이다.

어쨋든 잡설이 길었다. 이 블로그는 종종 잡설을 쓰곤 한다. 그냥 무미건조한 글만 적다보면 재미가 없어서 그러는 것이다.

(수학의 인재들은 공식만 봐도 신나하던데... 이것 자체가 재능이 딸린다는 반증일지도 ;;; 허나 수학에 재능 운운하던 시절은 지났다. 정승제 선생님 말이다)

심지어 요즘엔 수학 예능까지 나왔다. 대단한 21세기다. 생각난 김에 소개한다.

유형 18의 연습문제를 풀어본다.

1. 5x and 7c (and는 곱하기다)

-> 35cx

c가 x보다 알파벳에서 먼저니까 붙여준다.

2. 51cy and -xa

-> -51acxy

부호는 맨 앞으로 빼준다.

3. 3x^3y and 7axy^2

-> 21ax^4y^3

x^3 곱하기 x 는 x.x.x.x 로 x^4 이다.

5. -3x^2y 와 -2ax 와 3cy^2

-> 18acx^3y^3

- 마이너스와 - 마이너스를 곱하면 + 플러스가 된다.

11.

a명의 소년이 사과 100개를 걸리는데 며칠이 걸리겠는가?

각자 소년은 하루에 사과 b개를 먹는다.

100 개 전체 사과 개수

b = 소년 한명이 먹는 사과 개수

a = 소년 인원수

a.b = 하루에 소년들이 먹는 사과의 수

100 / ab = 소년들이 사과 100개를 먹는데 걸리는 날

13.

a 백단위

b 십단위

c 일단위

유닛으로 표현하면 어떻게 되는가?

(a x 100) + (b x 10) + (c x 1) = 숫자를 조립해본다

100a + 10b + c = 백단위 숫자의 표현식이다.

-> 우리가 사용하는 숫자들도 대수의 원리가 들어가 있다. 이건 파이썬으로 한번 구현해 볼만하다.

hundreds = 0
tens = 0
units = 0

hundreds= int(input('백의 자리 숫자를 입력하시오: '))
tens = int(input('십의 자리 숫자를 입력하시오: '))
units = int(input('일의 자리 숫자를 입력하시오: '))

whole_number = (hundreds*100) + (tens*10) + (units*1)

print(f'전체 숫자는 {whole_number} 입니다!')