대수 기초 | A FIRST BOOK IN ALGEBRA - ２ | 120년전 중학교 수학교재 풀기

유형 4까지 풀었으니 5에서 시작한다.

아서는 사과를 샀다

사과의 두배만큼 오랜지를 샀다

다 합쳐서 78 센트이다

사과는 1개 3센트다

오렌지는 1개 5센트다

각각 몇개를 샀는가?

x = 사과 개수

2x = 오렌지 개수

x + 2x = 과일 전체 개수

3x = 사과 비용

5 * 2x = 10x = 오렌지 비용

3x + 10x = 78

13x = 78

x = 6

x = 6 사과 개수

2x = 12 오렌지 개수

6개의 사과와 12개의 오렌지를 샀다.

* 이 문제 유형의 포인트는 개수와 가격을 헷갈리지 않는 것이다.

대충 듣고 x + 2x = 78 이라고 한다면 사과는 앞의 식은 개수이고 뒤의 숫자는 가격(센트)이니까 통일되지 않는다. 1개 가격을 정해줬으니까 각각의 개수와 단위 가격을 곱해준다.

연습문제를 풀어보자

한 남자가 램프 3개와 꽃병 2개를 6달러에 샀다.

꽃병 1개가 램프 2개보다 50센트 싸다.

각자의 가격은 무엇인가?

램프와 꽃병의 가격이 다르다는 것에 유의한다. 꽃병과 램프의 가격비율을 구한다.

-> 꽃병 1개 = 램프 2개 - 50

램프 3개 + 꽃병 2개 = 600 센트(6달러)

-> 램프 3개 + 2(램프 2개 - 50) = 600

로 나타낼 수 있다. 여기서 램프는 가격을 의미한다.

3x + 2 (2x -50) = 600

3x + 4x - 100 = 600

7x = 700

x = 100

2x - 50 = 150센트 (1.5달러)

램프 1개 100센트 (1달러)

꽃병 1개 150센트 (1.5달러)

* 이 문제의 핵심은 1달러가 100센트라는 것이다... 돈의 단위에 주의한다.

다른 연습문제도 풀어본다.

존슨과 메이는 함께 파트너십 투자를 했다.

존슨의 이자율이 메이의 수익금의 4배이다

존슨의 수익금은 메이의 수익금보다 4500달러 많다.

각자의 수익금은 얼마인가?

* 중학교 문제 치고는 난이도가 높은 것 같다. 중1에 파트너십 투자 같은 것을 알고 있을까?? 라는 의문이 든다.

x = 메이의 수익금

4x = 존슨의 수익금

메이의 수익금 + 4,500 = 존슨의 수익금

x +4,500 = 4x

3x = 4,500

x = 1,500 메이의 수익금

4x = 6,000 존슨의 수익금

* interest 라는 단어의 뜻은 수익금이다. interest rate (수익률)과는 다르니 주의한다.

유형 6이다.

어떤 숫자를 찾는 문제다.

처음 숫자에다가 자기 자신을 2배하고 40을 더한다.

그 숫자는 처음 숫자의 8배가 된다.

한글로 해도 영어로 해도 말이 어렵다. 꼬아놨기 때문이다.

x = 처음 숫자

x + 2x + 40 = 8x

3x + 40 = 8x

5x = 50

x = 8

찾는 숫자는 8이다. 자기 자신과 두배한 것을 더한다는 내용에 주의한다. 그냥 두 배하는게 아니다.

다음은 연습문제다.

어느 숫자를 찾는다.

한 숫자에 36을 더한다.

그 결과는 처음 숫자의 10배와 같다.

x = 한 숫자

x + 36 = 10x

9x = 36

x = 4

그 숫자는 4이다. 해석을 잘하면서 풀어야 한다. 원래는 간단한 문제였는데 말로 풀어서 설명하면 웬지 어렵다.

다음 문제도 풀어보자

오렌지 4 dozen (12개) 는 사과 7 dozen 과 가격이 같다.

오렌지 1 dozen은 사과 1 dozen 보다 15센트 비싸다.

각각의 가격은?

dozen 이 12개인데 여기서는 한 묶음으로 치는 거니까 별도로 풀어서 계산하지 않는다. 단위만 dozen으로 붙인다.

사과 1 + 15 = 오렌지 1

오렌지 4 = 사과 7

4(사과 1 + 15) = 사과 7

* 사과를 x로 놓는다.

4(x + 15) = 7x

4x + 60 = 7x

3x = 60

x = 20 사과 1 dozen 의 가격

x + 15 = 35 오렌지 1 dozen 의 가격

각각 20센트, 35센트 이다.

* 이 문제를 보고 느낀 것은... 120년 전에 사과 12개가 20센트 (한국 돈으로 약 300원) 이었다는 것이다!

현재 사과 12개에 4만원 > 미국 120년 전에 사과 12개에 300원

시공간의 차이다. 120년 전 기준이다...

다음 유형 7로 넘어간다.

숫자 72를 둘로 분리한다.

한쪽은 다른 한쪽의 8분의1이다.

x = 큰수로 놓는다

1/8x = 작은수

x + 1/8x = 72

8/8x + 1/8x = 72 이므로

9/8x = 72

9x = 72 * 8

9x = 576

x = 64

이걸

9/8x = 72

에서

1/8x = 8

x = 64

로 해도된다.

x = 64 큰수

1/8x = 8 작은수

* 분수를 다루기 시작했다.

어떤수의 4분의 1과 8분의 1을 더하니 36이다. 어떤 수는 무엇인가?

x = 어떤 수

1/4x + 1/8x = 36

2/8x + 1/8x = 36

3/8x = 36

1/8x = 12

x = 96

어떤 수는 96이다.

다음 문제는 부동산 면적 구하는 문제다.

A씨가 부동산의 1/4을 샀다.

B씨는 1/2 을 샀다.

C씨는 1/6 샀다.

전부해서 55,000 피트를 샀다면 전체 부동산의 크기는 얼마일까?

부동산 전체의 넓이(크기) the estate 를 구하는 문제이다.

x = 부동산 넓이

1/4x = A씨 소유

1/2x = B씨 소유

1/6x = C씨 소유

1/4x + 1/2x + 1/6x = 55,000

공통분모를 12로 정한다.

3/12x + 6/12x + 2/12x = 55,000

11/12x = 55,000

1/12x = 5000

x = 12 * 5000

x = 60,000 피트

부동산 전체 크기는 60,000피트이다.

어떤 숫자에 1/3 을 더하고 1/2을 더한다.

그 결과가 22와 같다.

이 어떤 숫자를 찾아라.

x = 어떤 숫자

x + 1/3x + 1/2x = 22

최소공배수 6을 활용한다

6/6x + 2/6x + 3/6x = 22

11/6x = 22

1/6x = 2

x = 12

어떤 숫자는 12이다.

연습 문제이다.

어떤 숫자의 1/3 과 2/5 그리고 11을 더하면 44이 된다.

어떤 숫자는?

x = 어떤 숫자

1/3x + 2/5x + 11 = 44

5/15x + 6/15x = 33

11/15x = 33

1/15x = 3

x = 45

어떤 숫자는 45이다.

* 예시문제와 같은 내용이라 할말이 없다.

다음 연습문제는 중학교 다운 내용이다.

세명의 소년이 같은 수의 유리구슬을 가지고 있다.

존은 헨리의 2/3, 로버트의 2/5를 산다.

구슬을 세어보니 93개다.

처음에 몇개를 가지고 있었는가?

x = 처음 구슬 개수

x + 2/3x + 2/5x = 93 존이 가진 구슬의 양

15/15x + 10/15x + 6/15x = 93

31/15x = 93

1/15x = 3

x = 45

처음 가졌던 구슬의 수 45개이다.

유형 8 (Exercise 8) 까지 풀이를 해봤다. Exercise 9는 다른 예시가 아니라 1~8의 내용의 복습이다. 간략하게 또 풀어보자.

56을 두 부분으로 분리한다.

한쪽은 다른 한쪽의 1/3이다.

x = 큰수

1/3x = 작은수

x + 1/3x = 56

3/3x + 1/3x = 56

4/3x = 56

1/3x = 14

x = 42

* 개념: 이전 내용의 복습이다. 수의 표현하는 방식을 잘 보면 56을 둘로 나눈다고 말한다. 그런데 나누기라고 하면 항상 같은 비율로 나눌거라 생각하는데 그게 아니다. 작은 부분과 큰 부분으로 나누는데 두개를 비교 해보니 한쪽이 1/3 만했다. 바꿔 말하면 큰쪽은 작은 쪽보다 3배 크다. 이런 부분만 주의하면 큰 어려움이 없을 것 같다. 비슷한 유형의 문제는 다 같은 방식으로 풀 수 있다. 분수의 분모를 통일해서 식을 정리하는 부분까지 조금 더 연습하면 어렵지 않다.

하나의 연습문제 단위에는 18개의 문제가 있으나 거의 비슷하다고 볼 수 있다. 이 포스팅에서 그걸 다 풀지는 않을 것이다. 시간도 오래 걸리고. 주요한 문제들 하나하나에 대하여 심도 있게 들여다 보고 직접 풀이해보는 것이 더 유용하다.