대수 기초 | A FIRST BOOK IN ALGEBRA - 1 | 프로젝트 구텐베르크 120년전 수학교재

WALLACE C. BOYDEN 의 1895년 저서 A FIRST BOOK IN ALGEBRA의 내용을 참고하여 대수 기초에 대한 포스팅을 한다.

 

이북은 아래 구텐베르그 프로젝트 링크에서 무료로 다운로드 받을 수 있다.

 

www.gutenberg.org/ebooks/13309

 

100년이 지난 책이지만 아마존에서는 하드 커버로 판매하고 있다. 아직도 미국에서는 홈스쿨링 등으로 사용하고 있는 사람이 있다는게 놀라운 사실이다. (리뷰의 댓글에서)

 

무려 120년 전의 대수 문제들이 온라인 전자 도서관에 보관되어 있다니 어떤 내용인지 궁굼해졌다.

 

처음 대수를 접하는 우리나라로 따지면 중1 정도의 대수학 교재로 볼 수 있을 것 같다.

 

189페이지로 적은 분량일 것 같지만 거의 대부분이 문제로 되어 있어서 내용이 많다.

 

모든 문제를 다 커버할 수는 없으니 괜찮다 싶은 내용을 발췌하여 포스팅을 하려고 한다.

이런 식으로 시작한다. 설명 부분이 있고 예시 Exercise 가 나와있다. 그 아래에는 응용 문제들이 여러개 있다. 즉 예시 문제는 좀 설명을 해주고 응용문제를 스스로 풀어가는 형식의 교재이다.

 

우리 나라의 수학은 처음에 개념을 도입하는 수학의 정석 같은 방식으로 가르친다면 서양의 수학은 보통 가벼운 예시에서 시작해서 어려운 개념으로 나아가는 교재가 많다. 그래서 교재가 두꺼워지기도 하지만 어쨋든 120년 전 문제를 한번 풀어보자.

 

 

1. 맨 위의 문단은 이론에 대한 설명이다. 대수학(algebra)과 산수(arithmetic)는 서로 비슷해 보이지만 다르다. 바로 대수학은 숫자를 표현하는 0~9 뿐 아니라 x 같은 문자를 사용한다. 문자를 사용하면 문제풀이가 훨씬 쉬워진다.

 

예제 1.

 

- 두 수의 합이 60이다.

- 큰 수는 작은수 보다 4배 크다. 두 숫자를 구하면?

 

x = 작은 수

4x = 큰 수

4x + x = 60

5x = 60

x = 12  작은수

4x = 48 큰수

 

숫자는 12와 48 이다.

 

이렇게 자연스럽게 예시를 푼 다음에 응용문제가 나온다.

 

응용문제가 워낙 많으니까 우선 1,2번 문제를 풀어보자.

 

1번

 

- 두수의 합이 129이다.

- 큰수는 작은수의 2배이다.

 

x = 작은수

2x = 큰수

2x + x = 129

3x = 129

x = 43 작은수

2x = 86 큰수

 

2번

 

- 말과 마차의 가격이 500달러다

- 말을 사는 가격의 3배를 주고 마차를 샀다

 

x = 말

3x = 마차

3x + x = 500

4x = 500

x = 125 말

3x = 375 마차

 

식을 세워놓으면 같은 문제인데 숫자를 말과 마차로 바꾸니까 살짝 당황할 수 있는 문제다. 이런 경우 영어를 잘해야 수학을 잘할 듯 보인다.

 

 

 

유형 2번이다. 이제 세개의 숫자가 나온다.

 

세개 수의 합이 96이다.

2번 수는 1번 수의 세배이다.

3번 수는 1번 수의 네배이다.

 

x = 1번 수

3x = 2번 수

4x = 3번 수

 

x + 3x + 4x = 96

8x = 96

x = 12 ... 1번 수

3x = 36 ... 2번 수

4x = 48 ... 3번 수

 

숫자는 12, 36, 48이다.

 

유형 1에서는 구해야할 수가 2개였는데 유형 2에서는 세개로 늘었다. 난이도를 한단계 높여간다.

 

 

응용 문제를 하나 풀어보자.

 

A, B, C가 110달러 벌었다.

A는 B보다 네배를 벌었다.

C는 A와B를 합친 것과 같다.

 

각자 번 돈은?

 

x = B

4x = A

x + 4x = C

x + 4x + x+ 4x = 110

10x = 110

x = 11     B가 번돈

4x = 44   A가 번돈

5x = 55   C가 번돈

 

11, 44, 55가 답이다.

 

같은 유형의 문제다.

 

카봇 여사는 그녀의 아들 헨리보다 5배 더 받았다.

헨리가 그의 어머니보다 2만달러 적개 받았다면 각자 얼마를 받는가?

 

x = 헨리

5x = 카봇 여사

x = 5x - 20,000

x + 20,000 = 5x

4x = 20,000

x = 5,000 헨리

5x = 25,000 카봇 여사

 

5,000 과 25,000 달러를 받는다. 구하는 수가 세개는 아닌 문제였는데 약간씩 변화를 주는 것 같다.

 

 

 

유형 3.

 

126을 두수로 나눈다.(나누기하는게 아니라 그냥 덩어리로 분리한다는 말) 한쪽이 다른 한쪽보다 8이 더 많다.

 

x = 작은 수

x + 8 = 큰 수

x + x + 8 = 126

2x + 8 = 126

2x = 118

x = 59 작은수

x + 8 = 67 큰수

 

59와 67이다

 

유형 2까지는 배수로 구하는 대수였다면 이번은 덧셈이 들어가는 유형이다.

 

응용문제를 발췌해서 풀어보자.

 

- 35명의 아이들이 있다

- 여자가 남자보다 7명 더 많다

 

x = 남자

x + 7 = 여자

x + x + 7 = 35

2x + 7 = 35

2x = 28

x = 14 남자

x + 7 = 21 여자

 

남자 14 여자 21이다

 

- 111을 세개로 분리한다.

- 첫번째 부분은 두번째 보다 16이 더 많다.

- 첫번째 부분은 세번째 보다 19가 적다.

 

 

x = 두번째

x + 16 = 첫번째

x + 16 + 19 = 세번째

 

x + x + 16 + x + 16 + 19 = 111

3x + 51 = 111

3x = 60

x = 20 두번째

x + 16 = 36 첫번째

x + 16 + 19 = 55 세번째

 

답은 20, 36, 55 이다.

 

숫자와 사물들을 왔다갔다 하면서 계속 변화를 주는 것 같다. 한 개의 유형에 대해서 18개의 응용문제를 주고 있다. 학생들에게 연습을 많이 하라는 의미로 볼 수 있다. 아직까지 초반부인데 120년 전의 문제라고 현재의 문제들과 별로 차이가 있는 것 같지는 않다.

 

 유형 4다.

 

두수의 합은 25다

큰수는 작은수의 세배보다 3작다

 

x = 작은수

3x - 3 = 큰수

x + 3x - 3 = 25

4x = 28

x = 7 작은수

3x - 3 = 18 큰수

 

7과 18이다.

 

네번째 유형도 곱셈과 뺄셈을 사용한 변형이다.

 

 

응용 문제 14번이다.

 

A, B, C는 47000달러를 사업에 투자한다.

B는 A의 2배보다 500달러를 더 투자하고,

C는 B보다 세배 투자했다.

 

각자 얼마를 투자했는가?

 

x = A투자

2x + 500 = B 투자

3(2x + 500) = C 투자

 

x + 2x + 500 + 3(2x + 500) = 47,000

3x + 500 + 6x + 1500 = 47,000

9x + 2,000 = 47,000

9x = 45,000

x = 5,000

 

x =                 5,000 A투자

2x + 500 =     10,500 B투자

3(2x + 500) =  31,500 C투자

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                    47,000 투자 계

 

5,000과 10,500과 31,500 를 투자했다.

 

 

이 교재에는 유형 58까지 있다. (Exercise 58)

 

뒷 부분으로 가면 설명 자체가 없는 문제가 많기 때문에 모든 내용을 다루기에는 무리가 있겠지만 대수 기초의 핵심내용까지는 포스팅에 정리할 수 있을 거 같다. 다음 포스팅에서 계속 내용을 다룰 것이다.